📊 푸리에 급수 / 푸리에 변환
푸리에 급수 (Fourier Series)
주기(T) 신호 → 삼각함수의 합
f(t) = a₀2
+ Σaₙcos(nω₀t)
+ Σbₙsin(nω₀t)
+ Σaₙcos(nω₀t)
+ Σbₙsin(nω₀t)
ω₀ = 2πT (기본 각주파수)
• 조건: 주기 신호에만 적용
• 결과: 이산(선) 스펙트럼
• 주기 T → 기본주파수 f₀ = 1T
• 구성: 직류(a₀) + 기본파 + 고조파
• 결과: 이산(선) 스펙트럼
• 주기 T → 기본주파수 f₀ = 1T
• 구성: 직류(a₀) + 기본파 + 고조파
푸리에 변환 (Fourier Transform)
비주기 신호 → 주파수 영역 변환
X(f) = ∫₋∞^∞ x(t)·e^(-j2πft) dt
↑ 푸리에 변환 (시간→주파수)
↑ 푸리에 변환 (시간→주파수)
x(t) = ∫₋∞^∞ X(f)·e^(j2πft) df
↑ 역 푸리에 변환 (주파수→시간)
↑ 역 푸리에 변환 (주파수→시간)
• 조건: 비주기 신호에 적용
• 결과: 연속 스펙트럼
• x(t) ↔ X(f) 로 표기
• e^(-j2πft) = cos(2πft) - j·sin(2πft)
• 결과: 연속 스펙트럼
• x(t) ↔ X(f) 로 표기
• e^(-j2πft) = cos(2πft) - j·sin(2πft)
📊 푸리에 급수 vs 변환 비교
⚡ 푸리에 변환 주요 성질
① 선형성 (Linearity)
ax(t) + by(t) ↔ aX(f) + bY(f)
상수배와 합 모두 성립
② 시간 이동 (Time Shift)
x(t - t₀) ↔ X(f)·e^(-j2πft₀)
진폭 같고 위상만 변화
③ 변조 정리 (Modulation) ★★★ 기출
x(t)·cos2πf₀t ↔ ½X(f-f₀) + ½X(f+f₀)
±f₀이동 + 진폭 ½배
④ 대칭성 (Duality)
x(t) ↔ X(f) 이면 X(t) ↔ x(-f)
시간·주파수 대칭
⑤ 시간 척도 (Time Scaling)
x(at) ↔ (1|a|)·Xfa
시간 압축 → 대역폭 증가
⑥ 미분 (Differentiation)
d x(t)d t ↔ j2πf·X(f)
미분 → j2πf 곱
📋 주요 변환 쌍 암기